HOOK · 시작 질문
$6a^5 \div 3a^2$를 어떻게 계산할까?
Division of monomials — two equivalent paths, one answer.
A LITTLE QUESTION
$6a^5 \div 3a^2$의 두 가지 풀이법 을 비교해 보세요.
방법 ① 분수 꼴로 약분 — $\dfrac{6a^5}{3a^2} = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{a^5}{a^2} = 2 \cdot a^3 = 2a^3$.
방법 ② 역수의 곱셈 — $6a^5 \times \dfrac{1}{3a^2} = \dfrac{6a^5}{3a^2} = 2a^3$.
두 방법은 결국 같은 일 을 합니다. 어느 쪽이든 핵심은 계수끼리 나누고, 같은 문자끼리 지수법칙 Ⅲ 를 적용하는 것입니다.
이 차시에서는 단항식의 나눗셈 두 방법을 익히고, 분모의 지수가 분자보다 클 때 어떻게 처리하는지 — 지수법칙 Ⅲ의 세 가지 경우 를 다시 확인합니다.
CORE · 두 가지 방법
두 가지 나눗셈 방법
Both methods give the same result. Choose whichever feels natural for the problem.
METHOD ①
분수 꼴로 약분
$A \div B = \dfrac{A}{B}$
나눗셈을 분수로 바꾼 뒤, 계수는 계수끼리 약분 하고 같은 문자는 지수법칙 Ⅲ 를 적용한다.
장점: 분모·분자가 복잡할 때 직관적. 활용: 분수 꼴 식이 처음부터 주어진 경우.
METHOD ②
역수의 곱셈
$A \div B = A \times \dfrac{1}{B}$
나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 1.2의 단항식 곱셈 규칙을 그대로 적용한다.
장점: 곱셈과 나눗셈이 섞인 식에서 일관성. 활용: 다음 차시 1.4의 혼합 계산에 유리.
시연 · $6a^5 \div 3a^2$ (두 방법 비교)
$6a^5 \div 3a^2 = \ ?$
METHOD ① · 분수
$\dfrac{6a^5}{3a^2}$
METHOD ② · 역수 곱셈
$6a^5 \times \dfrac{1}{3a^2}$
▶ 두 방법 모두 $2a^3$
시연 · $a^3 \div a^7$ ($m < n$인 경우)
$a^3 \div a^7 = \ ?$
분자의 지수($3$)보다 분모의 지수($7$)가 크므로, 법칙 Ⅲ의 케이스 C 를 사용한다.
분수 꼴
$\dfrac{a^3}{a^7} = \dfrac{1}{a^{7-3}} = \dfrac{1}{a^4}$
풀어서 약분
$\dfrac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}$
▶ $a^3 \div a^7 = \dfrac{1}{a^4}$
REMEMBER · 법칙 Ⅲ 의 세 가지 경우
$a^m \div a^n$ — 지수의 대소에 따라 결과 형태가 다르다
CASE A · $m > n$
$a^{m-n}$
$a^7 \div a^2 = a^5$
CASE B · $m = n$
$1$
$a^4 \div a^4 = 1$
CASE C · $m < n$
$\dfrac{1}{a^{n-m}}$
$a^2 \div a^5 = \dfrac{1}{a^3}$
QUICK CHECK · 빠른 확인
바로 확인 하기
5 quick warm-ups — click each card to reveal the answer.
QC-01 · 기본
$10a^6 \div 2a^2 = ?$
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계수: $10 \div 2 = 5$. 문자: $a^{6-2} = a^4$. ▶ $\mathbf{5a^4}$.
QC-02 · 두 문자
$15x^3 y^2 \div 3xy = ?$
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계수: $15 \div 3 = 5$. $x$: $x^{3-1} = x^2$. $y$: $y^{2-1} = y$. ▶ $\mathbf{5x^2 y}$.
QC-03 · $m = n$
$7x^5 \div 7x^5 = ?$
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분자·분모가 완전히 같으므로 $\mathbf{1}$.
QC-04 · $m < n$
$6a^2 \div 2a^5 = ?$
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계수: $6 \div 2 = 3$. 지수 $2 < 5$이므로 $\dfrac{1}{a^{5-2}} = \dfrac{1}{a^3}$. ▶ $\mathbf{\dfrac{3}{a^3}}$.
QC-05 · 음수 부호
$(-12x^4) \div 3x = ?$
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계수: $-12 \div 3 = -4$. 문자: $x^{4-1} = x^3$. ▶ $\mathbf{-4x^3}$.
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples combining exponent rules with division.
EXAMPLE 01
거듭제곱 먼저 , 나눗셈 다음
다음 식을 간단히 하시오: $\quad (2x^2)^3 \div x^4$
1
법칙 Ⅳ 로 거듭제곱 풀기: $(2x^2)^3 = 8x^6$.
2
이제 $8x^6 \div x^4$. 계수: $8 \div 1 = 8$. 문자: $x^{6-4} = x^2$ ($m > n$).
▶ 답: $8x^2$
EXAMPLE 02
분모의 지수가 더 큰 경우
다음 식을 간단히 하시오: $\quad 4ab^3 \div 2a^3 b$
1
분수로: $\dfrac{4ab^3}{2a^3 b}$.
3
$a$의 지수: $1 < 3$이므로 $\dfrac{1}{a^{3-1}} = \dfrac{1}{a^2}$ (분모에 남음).
4
$b$의 지수: $3 > 1$이므로 $b^{3-1} = b^2$ (분자에 남음).
▶ 답: $\dfrac{2b^2}{a^2}$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty. Type your answer in the indicated format.
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$8a^7 \div 2a^3$을 간단히 하시오. (답 형식: 4a^4 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $8 \div 2 = 4$. 문자: $a^{7-3} = a^4$. ▶ $\mathbf{4a^4}$.
$12x^4 y^3 \div 4x^2 y$를 간단히 하시오. (답 형식: 3x^2y^2 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $12 \div 4 = 3$. $x$: $x^{4-2} = x^2$. $y$: $y^{3-1} = y^2$. ▶ $\mathbf{3x^2 y^2}$.
$5a^3 b^2 \div 5a^3 b^2$를 간단히 하시오. (답 형식: 1 )
확인 풀이
SOLUTION
분자와 분모가 완전히 같으므로 ▶ $\mathbf{1}$.
$(3x^3)^2 \div 9x^4$를 간단히 하시오. (답 형식: x^2 )
확인 풀이
SOLUTION
$(3x^3)^2 = 9x^6$. 이제 $9x^6 \div 9x^4$. 계수: $9 \div 9 = 1$. 문자: $x^{6-4} = x^2$. ▶ $\mathbf{x^2}$.
$(-15a^5 b^3) \div 5a^2 b$를 간단히 하시오. (답 형식: -3a^3b^2 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $-15 \div 5 = -3$. $a$: $a^{5-2} = a^3$. $b$: $b^{3-1} = b^2$. ▶ $\mathbf{-3a^3 b^2}$.
$4x^2 \div 8x^5$를 간단히 하시오. (답 형식: 1/2x^3 ; 분자가 1이면 1/...)
확인 풀이
SOLUTION
계수: $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$. 지수 비교: $2 < 5$이므로 $\dfrac{1}{x^{5-2}} = \dfrac{1}{x^3}$ (분모로). 합치면 $\mathbf{\dfrac{1}{2x^3}}$.
$\square \div 2a^2 = 3a^4$일 때, 빈칸에 알맞은 식은? (답 형식: 6a^6 )
확인 풀이
SOLUTION
빈칸 = $3a^4 \times 2a^2$ (양변에 $2a^2$ 곱하기).
계수: $3 \times 2 = 6$. 문자: $a^{4+2} = a^6$. ▶ $\mathbf{6a^6}$.
넓이가 $24a^4 b^3$이고 가로의 길이가 $4ab$인 직사각형의 세로의 길이 는? (답 형식: 6a^3b^2 )
확인 풀이
SOLUTION
세로 = 넓이 ÷ 가로 = $24a^4 b^3 \div 4ab$.
계수: $24 \div 4 = 6$. $a$: $a^{4-1} = a^3$. $b$: $b^{3-1} = b^2$.
▶ $\mathbf{6a^3 b^2}$.